4 張 GIF 圖幫助你理解二叉搜尋樹

二叉搜尋樹（Binary Search Tree），也稱二叉查詢樹，是指一棵空樹或者具有下列性質的二叉樹：

• 若某節點的左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小於它的根結點的值；

• 若某節點的右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於它的根結點的值；

• 任意節點的左、右子樹也分別為二叉搜尋樹；

 

二叉搜尋樹相比於其他資料結構的優勢在於查詢、插入的時間複雜度較低，為O(log n)。

二叉搜尋樹的節點資料結構如下：

class TreeNode:
    '''   二叉搜尋樹節點構造    '''
    def __init__(self, val):
        self.val = val
        self.left = None
        self.right = None

下麵 4 張 GIF 動圖，是 penjee 官博製作分享，分享給大家。

圖1：查詢 BST 中的某個元素

在二叉搜尋樹root中查詢val的過程為：

1. 若root是空樹，則傳回失敗，否則：

2. 若val等於root->val，則查詢成功；否則：

3. 若val小於root->val，則遞迴搜尋左子樹；否則：

4. 遞迴搜尋右子樹。

Python程式碼實現如下：

def query(self, root, val):
    '''
    查詢操作
    :param root: 叉搜尋樹根節點
    :param val: 要查詢元素
    :return:
    '''
    if root == None:
        return False
    if root.val == val:
        return True
    elif val < root.val:
        return self.query(root.left, val)
    elif val > root.val:
        return self.query(root.right, val)

圖2 ↓ ：從有序陣列構造一個二叉搜尋樹

由順序陣列構造二叉搜尋樹的過程為：

如果陣列不為空：

1. 尋找陣列中的中間元素，即為根節點；

2. 由根節點遞迴構造左子樹；

3. 由根節點遞迴構造右子樹。

Python程式碼實現如下：

def sortedArrayToBST(self, list):
    '''
    :param list: 排序好的陣列，順序是由小到大
    :return: root
    '''
    if not list:
        return None
    else:
        length = len(list)
        mid = length // 2
        root = TreeNode(list[mid])
        root.left = self.sortedArrayToBST(list[:mid])
        root.right = self.sortedArrayToBST(list[mid + 1:])
    return root

圖3 ↓：往 BST 中插入元素

向一個二叉搜尋樹root中插入一個值val的演演算法（val值不存在在root中），過程為：

1. 若root是空樹，則將val所形成的節點作為根節點插入，否則：

2. 若root->val小於val，則遞迴把val所形成的節點插入到左子樹中，否則：

3. 遞迴把val所形成的節點插入到右子樹中。

Python程式碼實現如下：

def insert(self, root, val):
    '''
    查詢操作
    :param root: 二叉搜尋樹根節點
    :param val: 要插入的元素
    :return:
    '''
    if root == None:
        root = TreeNode(val)
    elif val < root.val:
        root.left = self.insert(root.left, val)
    elif val > root.val:
        root.right = self.insert(root.right, val)
    return root

圖4 ↓：BST 轉成有序陣列

由二叉搜尋樹還原順序陣列的過程為：

如果樹節點不為空：

1. 遞迴遍歷左子樹的節點，將相關的val儲存在list中；

2. 將根節點的val儲存在list中；

3. 遞迴遍歷右子樹的節點，將相關的val儲存在list中。

Python程式碼實現如下：

def BSTtosortedArray(self, root, list):
    '''
    BST 轉成有序陣列
    :param root: 二叉搜尋樹根節點
    :param list: 轉換後的有序陣列
    :return:
    '''
    # 列印二叉搜尋樹(中序列印，有序數列)
    if root == None:
        return
    else:
        self.BSTtosortedArray(root.left,list)
        list.append(root.val)
        self.BSTtosortedArray(root.right,list)
    return list

圖片來源：www.penjee.com