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轉自：heaad
http://www.cnblogs.com/heaad/archive/2010/12/20/1911614.html
爬山演演算法 ( Hill Climbing )
介紹模擬退火前，先介紹爬山演演算法。爬山演演算法是一種簡單的貪心搜尋演演算法，該演演算法每次從當前解的臨近解空間中選擇一個最優解作為當前解，直到達到一個區域性最優解。
爬山演演算法實現很簡單，其主要缺點是會陷入區域性最優解，而不一定能搜尋到全域性最優解。
如圖1所示：假設C點為當前解，爬山演演算法搜尋到A點這個區域性最優解就會停止搜尋，因為在A點無論向那個方向小幅度移動都不能得到更優的解。
圖1
模擬退火(SA,Simulated Annealing)思想
爬山法是完完全全的貪心法，每次都鼠目寸光的選擇一個當前最優解，因此只能搜尋到區域性的最優值。
模擬退火其實也是一種貪心演演算法，但是它的搜尋過程引入了隨機因素。模擬退火演演算法以一定的機率來接受一個比當前解要差的解，因此有可能會跳出這個區域性的最優解，達到全域性的最優解。
以圖1為例，模擬退火演演算法在搜尋到區域性最優解A後，會以一定的機率接受到E的移動。也許經過幾次這樣的不是區域性最優的移動後會到達D點，於是就跳出了區域性最大值A。
模擬退火演演算法描述：
1、若J( Y(i+1) )>= J( Y(i) ) (即移動後得到更優解)，則總是接受該移動
2、 若J( Y(i+1) )< J( Y(i) ) (即移動後的解比當前解要差)，則以一定的機率接受移動，而且這個機率隨著時間推移逐漸降低（逐漸降低才能趨向穩定）
這裡的“一定的機率”的計算參考了金屬冶煉的退火過程，這也是模擬退火演演算法名稱的由來。
根據熱力學的原理，在溫度為T時，出現能量差為dE的降溫的機率為P(dE)，表示為：
P(dE) = exp( dE/(kT) )
其中k是一個常數，exp表示自然指數，且dE<0。這條公式說白了就是：溫度越高，出現一次能量差為dE的降溫的機率就越大；溫度越低，則出現降溫的機率就越小。
又由於dE總是小於0（否則就不叫退火了），因此dE/kT < 0 ，所以P(dE)的函式取值範圍是(0,1) 。
隨著溫度T的降低，P(dE)會逐漸降低。
我們將一次向較差解的移動看做一次溫度跳變過程，我們以機率P(dE)來接受這樣的移動。
關於爬山演演算法與模擬退火，有一個有趣的比喻：
爬山演演算法：兔子朝著比現在高的地方跳去。它找到了不遠處的最高山峰。但是這座山不一定是珠穆朗瑪峰。這就是爬山演演算法，它不能保證區域性最優值就是全域性最優值。
模擬退火：兔子喝醉了。它隨機地跳了很長時間。這期間，它可能走向高處，也可能踏入平地。但是，它漸漸清醒了並朝最高方向跳去。這就是模擬退火。
下麵給出模擬退火的偽程式碼表示。
模擬退火演演算法偽程式碼
/*
* J(y)：在狀態y時的評價函式值
* Y(i)：表示當前狀態
* Y(i+1)：表示新的狀態
* r： 用於控制降溫的快慢
* T： 系統的溫度，系統初始應該要處於一個高溫的狀態
* T_min ：溫度的下限，若溫度T達到T_min，則停止搜尋
*/
while( T > T_min )
{
dE = J( Y(i+1) ) – J( Y(i) ) ;
if ( dE >=0 ) //表達移動後得到更優解，則總是接受移動
Y(i+1) = Y(i) ; //接受從Y(i)到Y(i+1)的移動
else
{
// 函式exp( dE/T )的取值範圍是(0,1) ，dE/T越大，則exp( dE/T )也
if ( exp( dE/T ) > random( 0 , 1 ) )
Y(i+1) = Y(i) ; //接受從Y(i)到Y(i+1)的移動
}
T = r * T ; //降溫退火 ，0
/*
* 若r過大，則搜尋到全域性最優解的可能會較高，但搜尋的過程也就較長。若r過小，則搜尋的過程會很快，但最終可能會達到一個區域性最優值
*/
i ++ ;
}
使用模擬退火演演算法解決旅行商問題
旅行商問題 ( TSP , Traveling Salesman Problem ) ：有N個城市，要求從其中某個問題出發，唯一遍歷所有城市，再回到出發的城市，求最短的路線。
旅行商問題屬於所謂的NP完全問題，精確的解決TSP只能透過窮舉所有的路徑組合，其時間複雜度是O(N!) 。
使用模擬退火演演算法可以比較快的求出TSP的一條近似最優路徑。（使用遺傳演演算法也是可以的，我將在下一篇文章中介紹）模擬退火解決TSP的思路：
1、 產生一條新的遍歷路徑P(i+1)，計算路徑P(i+1)的長度L( P(i+1) )
2、若L(P(i+1)) < L(P(i))，則接受P(i+1)為新的路徑，否則以模擬退火的那個機率接受P(i+1) ，然後降溫
3、重覆步驟1，2直到滿足退出條件
產生新的遍歷路徑的方法有很多，下麵列舉其中3種：
1、隨機選擇2個節點，交換路徑中的這2個節點的順序。
2、隨機選擇2個節點，將路徑中這2個節點間的節點順序逆轉。
3、隨機選擇3個節點m，n，k，然後將節點m與n間的節點移位到節點k後面。
演演算法評價
模擬退火演演算法是一種隨機演演算法，並不一定能找到全域性的最優解，可以比較快的找到問題的近似最優解。 如果引數設定得當，模擬退火演演算法搜尋效率比窮舉法要高。
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