如何科學地評價妹子身材？三圍符合黃金比例是審美標準？你錯了！

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今天是我們一起充電的第5天

作者：馬克·查-卡羅爾

本文摘編自《數學極客：探索數字、邏輯、計算之美》，如需轉載請聯絡我們

本文介紹一個讓我惱火的數字。我不是黃金比例φ（“phi”）的忠實粉絲。這個數字被各種濫用，以至於很多我們聽說的所謂的黃金比例都不是真正的黃金比例。

例如：新時代的金字塔崇拜者聲稱，埃及最偉大的金字塔有些屬性來自於黃金比例，但是事實上，它們並沒有。動物神秘主義者聲稱，在一個蜂巢中，蟲卵中雄蜂的比例也接近是一個黃金比例，但是它也並不是真的。

簡單來說，黃金比例的值等於，或者說近似等於1.6，只是比1.5多了那麼一點點。很自然地這個數字會接近很多事物。如果某物接近1.5，那麼它就接近黃金比例。而且因為黃金比例的無處不在的名聲，人們就斷然假定：哇，嘿，看，它是黃金比例！

例如，最近竟然有一個調查聲稱，女人的胸圍和臀圍的理想比例是和黃金比例有關的。為什麼？顯然大家都知道黃金比例具有最佳審美比例的特點。

所以當他們做一個調查，讓男人去給不同照片的女人的漂亮程度打分的時候，而當你看到那些打分結果時，你只要稍微動一下歪念頭：哇，那些得分最高的女人的胸圍臀圍比例都非常接近黃金比例。

沒有什麼理由去相信它，就像沒有理由去相信黃金比例很重要一樣，但是卻有很多理由去不相信它。（比如，女人的完美身材標準隨著歷史的發展不斷地變化。）

但是如果你拋棄所有這些荒謬的東西，黃金比例還是一個有趣的數字。我個人覺得它有趣的原因是因為它的表示。當被以不同的方法表示時，數字的結構會以難以置信的方式變得淺顯易懂。例如，如果你將黃金比例表示為連分數的形式，你將得到：

也被記作：[1；1，1，1，1…]。如果你將其表示為一個連續的平方根形式，它是：

這些φ的不同表示不僅漂亮，它們還告訴我們一些關於這個數字的合理的有趣的屬性。φ的連分數表示告訴我們φ的倒數是φ-1. 而連續平方根形式告訴我們φ²=φ+1。同樣也有不同的方式來表述φ的幾何含義，我們將在下一個部分介紹。

01 什麼是黃金比例？

那麼到底什麼是黃金比例？它是式子(a+b)/a=(a/b)的解。也就是說，如果給你一個矩形，而且它兩條邊的長度比例是1:φ，當你從該矩形中去掉可能的最大正方形後，你將得到一個矩形，而且它的長寬比例是φ:1；當你剩下的矩形中去掉的最大正方形後，你將得一個新矩形，它的長寬比例是1:φ，以此類推。你可以從圖3中看幾何解釋的基本思想。

▲圖3：黃金比例，黃金比例是一個理想矩形的長寬比例，當你從這個矩形中去掉一個最大的正方形後，你將得到一個矩形，而且它依然具有長寬黃金比例的性質

據說，如果一個矩形的長寬比例正好是黃金比例時，那麼該矩形從美學的角度看起來最美。我不是一個足夠分量的視覺藝術家，我不能去批評該觀點，所以我總是簡單地相信它。

但是這個比例的確在幾何學的很多地方出現。例如，如果你畫一個標準的五角星，那麼從某個角的頂點到另一個角的邊的距離和那個角的內部的長度的比例是φ:1. 如圖4（黃金比例和五角星）所示。

▲圖4：黃金比例和五角星 另一個黃金比例的例子，在五角星中央五角形周圍的等腰三角形中找到

黃金比例也和斐波納契（Fibonacci）數列有關。以防你不記得了，複習以下：斐波那契序列是這樣的一個數字序列，序列中的每個數字都是它前面兩個數字的和：1，1，2，3，5，8，13，……如果Fib(n)是序列中的第n個數，那麼你能透過下麵的公式計算：

02 荒唐的傳奇

關於黃金比例的歷史，有成千上萬的故事。但是，其中大部分都是胡謅的。

很多歷史故事會告訴你，埃及的金字塔是按照黃金比例建造的，或者希臘廟宇的很多特徵的比例是為了滿足黃金比例而建造的。但是像這樣帶著黃金比例光環的故事，大多都是無中生有、空穴來風。

讓我們考察一個猜想的例子，金字塔和黃金比例的關係。如果你觀察胡夫大金字塔（Great Pyramid of Khufu）的正面，那麼就會發現它和黃金比例的關係只是一個粗略的近似。黃金比例大約等於1.62，然而胡夫大金字塔兩條邊長度的比例等於1.57。胡夫大金字塔以它構建的精準度而聞名世界，但是考慮到金字塔的大小，這個錯誤會是6英尺。這種錯誤和神話並不相符。

但是，如此多的神話學者是如此的堅信黃金比例一定是建造金字塔時考慮的一個因素，以至於他們掙扎著尋找很多理由去證明它。為了滿足自己的期望，很多人會無所不用其極。例如：一位主要寫金字塔神話的作家，託尼·史密斯先生（Mr. Tony Smith）辯論說，金字塔正面兩邊比例的選擇是為了讓朝地面的那個角正好是黃金比例的平方根的倒數的反正弦。

我們的確知道黃金比例是畢達哥拉斯（Pythagoras）的某個崇拜者發現的，很有可能是希帕索斯（Hippasus），我們在無理數歷史中被溺死的可憐朋友。

黃金比例在古希臘廣為人知。歐幾裡得（Euclid）在他的著作《幾何原本》(Elements)裡寫過它，柏拉圖（Plato）在他的哲學作品裡也寫過它。事實上，我堅持認為柏拉圖是所有這些和黃金比例牽扯頻繁的胡謅亂侃的始作俑者。他相信世界是由四種成分組成的，而且每一個都是由完美的幾何體構成的。

對柏拉圖來說，這些完美的幾何體自身都具有完美的比例，這些比例中第一個就是黃金比例。對柏拉圖來說，黃金比例是宇宙最基礎的部分之一。

實際上，黃金比例被稱為φ的原因是因為一篇介紹希臘雕刻家菲迪亞斯（Phidias）（公元前490-430）的文章，菲迪亞斯在他的作品裡面使用了黃金比例，而他的名字的希臘文的第一個字母就是φ。

希臘人之後，大家並沒有對φ有多大的興趣，直到第十六世紀，一位在藝術和數學的研究都非常聞名的和尚，帕喬利（Pacioli）（1445-1517），他寫了一篇文章《神聖的比例》（The Divine Proportion）討論黃金比例及其在建築和藝術上的應用。當達芬奇（Da Vinci）在學習帕喬利的這篇文章時，被黃金比例深深的吸引，作為直接結果，黃金比例在達芬奇的很多素描和繪畫中都扮演了重要的角色。特別是他著名的《維特魯威人》（Vitruvian Man）（如圖5所示，達芬奇的維特魯威人）素描，圖解了一個人的身體是怎麼體現黃金比例的。

▲圖5：達芬奇的維特魯威人，達芬奇相信人的身體體現了黃金比例

當然，一旦達芬奇擁抱了黃金比例，歐洲大陸所有的藝術家和建築家立刻就跳入了這個潮流。並且這個潮流一直延續到今天，黃金比例仍然被藝術家和建築師廣泛使用。

03 它真正存在的地方

如前所述，雖然人們總是在黃金比例不存在的地方看到它，但是它卻的確是貨真價實地存在的，並且它會在某些令人驚奇的奇怪場合出現。

幾乎所有黃金比例出現的地方都和斐波那契數列有關，這是因為斐波那契數列和黃金比例是有緊密聯絡的。不管什麼地方，只要斐波那契數列出現，你就一定能找到黃金比例的身影。

例如，西方音樂的基本音階是在斐波那契數列的基礎上建立起來的，而大多數聲樂的和絃結構中，就有很多的音調與和絃結構存在黃金比例的例子。不少音樂家已經非常好地利用了這個特點。其中，我最喜歡二十世紀偉大的作曲家巴托克·貝拉（Béla Bartók）（1881-1945），他將黃金比例這個特點作為基礎結構應用在他的一些作品裡。最精彩的是他的十二部賦格曲“Music for Strings，Percussion，and Celesta”的一個部分，據我所知，這是歐洲音樂金曲中唯一的一首12部賦格曲。

為了樂趣，你可以基於黃金比例建立一個稱為黃金進位制的數字體系。它是一個奇怪的數字系統，有一些有趣的屬性。在黃金進位制，因為黃金比例是一個無理數，所以在黃金進位制裡，每一個有理數都將有一個沒有窮盡的表示：這就是說，在黃金進位制裡，每個有理數看起來像無理數。那麼是否黃金進位制對於某些事物是有用的呢？不見得，但無論如何，它卻很整齊！

關於作者：馬克·查-卡羅爾（Mark C. Chu-Carroll），擁有Delaware大學博士學位，目前在Spotify擔任資料基礎架構軟體工程師，之前曾在Google、Twitter擔任高階軟體工程師。他一直從事程式語言和軟體開發工具方面的研究工作，有超過20年的從業經驗。

本文摘編自《數學極客》，經出版方授權釋出。